Sinüs Dalga Örneği

Bir sinüs dalgasını örnek alın. Analizörünüzün, Şekil 1’de gösterildiği gibi 1Hz frekans çözünürlüğüne neden olacak bir Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) yapmak üzere ayarlandığını varsayalım. Frekans çözünürlüğü ayarı, bilgisayarın yalnızca her 1Hz’de veri görüntüleyebileceği anlamına gelir.

Şekil 1’den aşağıdakiler gözlemlenebilir:

– Sol tarafta, frekans alanında üç Hertz sinüs dalgasını görüntülemekte sorun yoktur. Üç Hertz spektral çizgisinde, genlik tam olarak 5 Volttur. Üç Hertz, 1Hz frekans çözünürlüğünün tam sayı katıdır.
– Sağ tarafta, 2.5 Hertz sinüs dalgasının nasıl temsil edilebileceği net değil. Bilgisayar, veri toplama ayarları nedeniyle, yalnızca her 1Hz’de veri görüntüleyebilir. Verilerin 2,5 Hertz’de görüntülenmesi bir olasılık değildir.

Veriler 2.5 Hertz’de görüntülenemediğinden, 2.5 Hertz sinyali Şekil 2’de gösterildiği gibi sıfır Hertz’den tam bant genişliğine sızacaktır.

Sızıntı olan bir sinyal (Şekil 2’de yeşil), sızıntı olmayan bir sinyale (Şekil 2’de kırmızı) göre daha düşük genliğe ve daha geniş bir frekans tepkisine sahiptir. Bu, frekans alanında sinyalin doğru şekilde ölçülmesini zorlaştırır.

Sızıntı (Leakage)

Sızıntı neden tüm frekans aralığını etkiler? Bu durum, sinyalin, ölçüm zaman çerçevesine göre periyodik olup olmadığı ile ilgilidir.

Periyodik Sinyaller
Periyodik bir sinyal belirli özelliklere sahiptir.Şekil 3’teki ölçümü düşünün.

Sinüs dalgasının ölçümü yapılır. Veri toplama için belirtilen çerçeve boyutuna (ölçüm süresine) bağlı olarak, orijinal sinüs sinyalinin sadece küçük bir miktarının yakalandığına dikkat edin. Buna Şekil 3’te “yakalanan sinyal” denir.

Daha sonra “yakalanan sinyal” tekrarlanır ve uç uca eklenir, buna Şekil 3’te “tekrarlanan sinyal” denir. Tekrarlanan sinyal orijinal sinüs dalgasına benziyorsa, yakalanan sinyal periyodiktir.

Yakalanan sinyal neden tekrar tekrar kopyalanır? Bu, FFT’nin dayandığı Fourier Dönüşümü (Denklem 1) üzerindeki integral aralığından kaynaklanmaktadır:

İntegralin aralığı eksi sonsuzdan artı sonsuza gider, bu nedenle bu denklemi sağlamak için küçük kesilmiş aralığın tekrarlanması gerekir.

Böylece FFT algoritması, Fourier Dönüşümü’nü gerçekleştirmek ve bir frekans spektrumu üretmek için az miktarda yakalanan veriyi alır ve tekrarlar. Bu sinyalin önceki ve sonraki tüm zamanlar için tekrarlandığını varsayar.

Bu durumda, sinyal periyodiktir ve elde edilen frekans spektrumunda sızıntı (leakage) oluşmayacaktır.

Periyodik Olmayan Sinyaller

Sadece ölçüm süresi küçük oranda değiştirilerek, yakalanan sinyal Şekil 4’te gösterildiği gibi periyodik olmayacaktır.

Yakalanan her sinyalin sonunda ani geçişler vardır. Şekil 4’te kırmızı ile daire içine alınmış bu keskin geçişler geniş bir frekans tepkisine sahiptir. Zaman alanındaki kısa geçici sinyaller, Şekil 5’te gösterildiği gibi yüksek, geniş bant frekans içeriği üretir.

Sonuçta elde edilen spektrum yeşil renkte Şekil 6’da gösterildiği gibi geniş bant yanıtı ve sinüzoidal yanıta sahip olacaktır.

Çoğu zaman elde edilen sinyal ölçüm süresi ile periyodik değildir. Çalışan bir motor veya pompa normalde ölçüm süresinin tam katı olan frekans içeriği üretmez. Motor veya pompanın çalışması veri toplama ayarlarından etkilenmez.

Kontrollü deneylerde,sarsıcı ile yapılan bir modal analiz gibi, ölçüm, sızıntıyı ortadan kaldırmak için bir kaynak ile senkronize edilebilir.

Ölçümlerin büyük çoğunluğu periyodik olmayan sinyallere sahip olacağı için, bu durumlarda “Sızıntının nasıl en aza indirileceği?” sorusu akla gelir.

Pencereler

Sızıntıyı azaltmak için, verilere pencere adı verilen matematiksel bir işlev uygulanır. Pencere, yeniden oluşturulan sinyaldeki keskin geçişi olabildiğince azaltmak için tasarlanmıştır.

Pencereler tipik olarak sıfır değerinde başlayan, bir değere hareket eden ve sonra bir kare üzerinde sıfır değerine dönen işlevler olarak şekillendirilir. Yakalanan sinyal, Şekil 7’de gösterildiği gibi pencere ile çarpılır.

Pencerelenen sinyal daha sonra Şekil 8’de gösterildiği gibi tekrarlanır ve uç uca eklenir. Tekrarlanan sinyal orijinal sinyale uymasa bile, keskin geçişler giderildiğine (sarı daire içine alınmış) ve yumuşatıldığına dikkat edin.

Keskin geçişler azaltıldığı ve düzeltildiği için, spektral sızıntının geniş bant frekansı da azalır.

Sızıntıyı Azaltma Avantajı

Orijinal sinyalle uyuşmuyorsa, sinyali neden bir pencere ile çarpalım?
Faydası, yakalanan sinyalin mükemmel bir şekilde kopyalanması değildir. Ana fayda, sızıntının artık ölçümün tüm frekans bant genişliğini etkilemek yerine daha küçük bir frekans aralığında sınırlanmasıdır.
Bunun iyileştirilmesi, sızıntının frekans aralığını Şekil 9’da gösterildiği gibi düşürmektedir.

Sızıntı daha küçük bir frekans aralığına yayıldığında, RMS gibi analiz hesaplamaları yapmak daha doğru sonuçlar verir.

Simcenter Testlab’da, doublex cursor, RMS hesaplamak için kullanılabilir. Spektral sızıntı azaldığı için, bir operatörün cursorlarını daha dar bir frekans aralığına yerleştirmesi daha kolaydır.

Şekil 10’da sızıntı bütün frekans aralığının üzerinde olduğu için, double X cursorla penceresiz sinüs dalgasının sınırlı bir frekans aralığı üzerinden, uygun RMS genlik hesaplamak imkansızdır. Bu nedenle RMS genliği doğru değildir.

Gerçekte olan ölçümlerde, genellikle birçok farklı frekans vardır. Bir pencere uygulanmadan, bu frekanslar birbirine sızarak imkansız olmasa bile, tekil piklerin gerçek genliğinin belirlenmesini çok zorlaştırır. Şekil 11’de, pencereli ve penceresiz iki farklı ton sızıntı üst üste binmiştir.

İki yakın aralıklı sinüs formu durumunda, pencere her formuayırt etmeyi kolaylaştırır, böylece uygun bir analiz yapılabilir.

Pencere Çeşitleri

Her biri belirli durumlar için optimize edilmiş farklı pencere çeşitleri vardır. Bazı pencereler şunları içerir:

– Hanning- Genel veri analizi, frekans ve genlik doğruluğu arasında iyi dengeleme için kullanılır.
– Flattop- Genlik için mükemmel doğruluk, genellikle kalibrasyonda kullanılır.
– Tukey- Anlık olaylar için kullanılır.
– Exponential- Çekiç darbeli modal testinde kullanılır, ölçüme yapay sönümleme eklemeye dikkat edin.
– Uniform- “Penceresiz” demenin başka bir yoludur.

Ölçüm durumuna bağlı olarak uygun pencere uygulanabilir.

Sonuç
Spektral sızıntı, pencereler uygulanarak çözülebilen dijital sinyal işlemede bir zorluktur:
– Sızıntı, periyodik olmayan verilerin dijital Fourier dönüşümü ile oluşur.
– Sızıntı, sinyalin, ölçümün tüm frekans aralığında yeniden dağıtılmasına neden olur.
– Pencereler, zaman alanı sinyalini yumuşatarak sızıntının etkilerini en aza indirmeye yardımcı olabilir, ancak sızıntıyı tamamen ortadan kaldıramaz.

Uygulama hakkında sorularınız için DTA Mühendislik Test Bölümü mühendisleriyle iletişime geçebilirsiniz.

The post Pencereler ve Spektral Sızıntı (Leakage) appeared first on .

Fourier Dönüşümü neden önemlidir ? Fourier Dönüşümü, zaman alanındaki bir sinyali frekans alanına dönüştürmek için kullanılır. Bu durum sinyalin anlaşılmasını kolaylaştırır.

Bu yazı Fourier Dönüşümünün kısa bir tarihini, arka planını, bazı örnekleri ve uygulamaları içermektedir.

Tarih

Fourier Dönüşümü ısı akışı analizinin başlangıcından, birçok farklı alanda yaygın kullanımına kadar, 200 yıldan daha eskidir.

Kökeni

Fourier Dönüşümü adını Fransız matematikçi Jean-Baptiste Joseph Fourier’den (Şekil 1) almaktadır. 1807’de herhangi bir fonksiyonun, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplamı olarak yazılabileceğini buldu.

Fourier, bu bulgularını Analytical Theory of Heat kapsamında 1822’de yayınlandı.
Daha sonrasında integral kullanarak,Fourier serisini oluşturan bireysel sinüs ve kosinüs dalgalarının genliğinin belirlenmesinin mümkün olduğunu keşfedildi. Bu,Fourier Dönüşümü olarak anılmaya başlandı.

Fourier Dönüşümü Dijitalleşiyor

Günümüzde yaygın olarak bilgisayar tabanlı uygulamalarda iki tip Fourier Dönüşümü kullanılmaktadır. İlki  DiscreteFourierTransform (DFT) diğeri ise FastFourierTransform (FFT).

1. DiscreteFourierTransform, ayrık bir zaman bloğu üzerinde bir Fourier Dönüşümü gerçekleştirir. Bir DFT, rastgele sayıda veri noktasından oluşan herhangi bir zaman sinyalinde gerçekleştirilebilir.

2. FFT, hesaplamalı olarak verimli bir şekilde DFT gerçekleştiren bir algoritmadır. Analiz edilen zaman bloğunda ikinin katları kadar örnek gerektirir. (512, 1024, 2048).

Fourier Dönüşümünün Temelleri

Fourier, herhangi bir sinyalin, farklı genlikteki ve fazdaki sinüs dalga serileri ile ifade edilebileceğini gösterdi. Örneğin, aşağıda gösterilen mor renkli sinyal (Şekil 2) 3 adet sinüs dalgasının toplamıdır.

Fourier Dönüşümü, orijinal zaman sinyalinin sinüzoitlere ayrılmasını mümkün kılar. Her sinüzoidin ilişkili bir genliği, fazı ve frekansı vardır. Bu, aşağıdaki Şekil 3’te gösterilmektedir.

Şekil 3’te, zaman alanındaki karmaşık görünümlü bir dalga formunun, frekans alanındaki üç dikey çizgi ile temsil edilebildiği görülebilir. Frekans alanındaki bu basit gösterim, anahtar frekansların tanımlanmasına yardımcı olur.

” Fourier Dönüşümü, karmaşık zaman sinyallerini frekans bileşenlerine ayırarak kolay anlaşılmasını sağlar.”

Frekans alanından zaman alanına geçerken hiçbir veri kaybolmaz.

Fourier Dönüşümü Denklemi

Fourier Dönüşümü için analitik denklem aşağıda verilmiştir.

– Sx(f), frekans alanında Fourier Dönüşümünün çıktısıdır.
– x(t), zaman alanı fonksiyonudur.
– 2πf, saniyede radyan cinsinden frekanstır.

Karmaşık Sayılar

Fourier dönüşümünün çıktısı, frekans spektrumundaki bir frekansa, genliğe ve faza karşılık gelen bir dizi karmaşık sayıdır. Karmaşık sayılar a+jb formatındadır. a harfi karmaşık sayısının gerçek kısmını belirtirken, b ise imajiner kısmıdır.

Karmaşık sayılar, Şekil 4’te gösterildiği gibi orijinal zaman sinyalindeki frekans bileşenlerinin genliği ve fazı hakkında bilgi içerir. Karmaşık sayının genliği hipotenüstür. Faz θ açısıdır.

Denklem 2 ve 3, gerçek ve imajiner değerler ile genlik ve faz arasındaki ilişkiyi gösterir.

Fourier Dönüşümünün sonuçları genlik ve faz (sol grafik, Şekil 5) veya gerçek ve imajiner (sağ grafik, Şekil 5) olarak gösterilebilir.

Genellikle, genlik ve faz gösterimi spektral bilgiyi görüntülemek için kullanılır.

” Fourier Dönüşümü, orijinal sinyal bileşenlerinin genlik ve faz bilgilerinin korunduğu karmaşık nümerik bir çıktıya sahiptir.”

Faz bilgisi korunduğu için, spectral verilere ters Fourier Dönüşümü uygulanarak zaman alanına dönülebilir. Eğer faz bilgisi önemli değilse veri AutopowerSpectrum olarak bilinlen fonksiyon ile hesaplanabilir.

Çift Taraflı Spektrum

Fourier Dönüşümü, Şekil 6’da gösterildiği gibi çift taraflı bir spektrum üretir.

Çift taraflı spektrum negatif ve pozitif frekanslardan oluşur. Fourier Dönüşümünün analitik karşılığında zaman verisinde limitler negatif sonsuzdan pozitif sonsuza gittiği için sonuç spektrumun frekans aralığı böyledir. Çift taraflı spektrumun genliği, Şekil 6’da gösterildiği gibi zaman alanındaki tepe genliğinin yarısıdır.

Dijital veri toplama sistemleri, bir FFT veya DFT gerçekleştirirken, negatif frekans aralığını göstermez. Çift taraflı spektrumun pozitif kısmının genliği iki ile çarpılarak sonuç gösterilir. ( Genliği değişmeyen 0 Hz hariç.)

Örnek Sinyaller ve Fourier Dönüşümleri

Aşağıda zaman alanındaki bazı sinyallerin Fourier Dönüşümleri gösterilmektedir.

Sine Wave
Sinüs dalgası, Fourier Dönüşümünün en temel bileşenidir. Sinüs dalgasının Fourier Dönüşümü tek bir frekansta, bir faz ile tek genlik üretir.

DampedTransient
Eğer sinüs dalgasının genliği bozuluyorsa, tek frekans çevresinde bir ‘’smear’’ vardır.
Sinüs dalgasının bozulması ne kadar hızlı olursa, ‘’smear’’ o kadar geniş olur.

SquareWave
Frekans alanındaki kare dalga, genlik olarak sabit miktarda azalan tek numaralı harmoniklere sahiptir.

Impulse
Impulsive bir sinyalin Fourier Dönüşümü, frekans spektrumu boyunca düz bir genliğe sahiptir. Darbe sinyalleri genellikle modal darbe testinde kullanılır, çünkü frekans spektrumu boyunca enerjinin eşit dağılımı, bir yapının birden çok modunu uyarabilir.

Offset
Sıfır genlikten sabit bir offsetiolan bir sinyalin frekans içeriği yoktur. Ortaya çıkan Fourier Dönüşümünde, sinyalin genlik içeriği 0 Hertz’dedir.Sabit değer bir offset sinyali genellikle DC ofseti olarak adlandırılırken, dinamik frekans içeriğine sahip sinyallerin AC içeriği olduğu kabul edilir.

Random
Rastgele bir sinyalin geniş bant frekans içeriği vardır.Tüm frekanslar yaklaşık aynı seviyedeyse, spektrumun tanımlanması için genellikle White Noise terimi kullanılır.

Fourier Dönüşümünün Uygulamaları
Fourier Dönüşümü, titreşim sorunlarının giderilmesinden görüntü işlemeye kadar birçok farklı kullanıma sahiptir.

” Fourier Dönüşümü bir sinyaldeki daha yüksek frekans bileşenlerini tanımlamak için kullanılabilir. Bu bileşenler istenmeyen gürültü veya titreşimin nedenini saptayabilir.”

Bazı örnekler aşağıdadır:

Elektrikli Süpürge

Sorunlu bir elektrikli süpürgesinden toplanan zaman alanı verilerine ve ses basıncı verilerinin Fourier Dönüşümüne bakın (Şekil 8).Elektrikli süpürge çalışırken keskin, hoş olmayan bir sese sahiptir. Zaman alanında bu elektrikli süpürgeyle ilgili özel bir sorun görünmüyor.

Zaman sinyalinin FFT’si 5445 Hz’de büyük bir tepe gösterir ve bu da hoş olmayan sese neden olur. Bu, fan kanadı geçişinden kaynaklanır. Mühendis, fan kanatları arasındaki mesafeyi ayarlayarak gürültülü fan sorununu çözebilir. Eşit aralıklı fan kanatları tek bir saf ton üretir. Düzensiz aralıklı bıçaklar, genliği daha düşük olan ve daha geniş bir frekans aralığında dağıtılan birden fazla ton üretecektir.

Müzik Analizi

Sesi analiz ederken, bir frekans spektrumunun genliği genellikle desibel (logaritmik bir miktar) olarak görüntülenir. Desibel, insanın ses algısının lineer genlikten daha iyi bir temsili olarak kabul edilir.
Bir rock şarkısının bir pop şarkısına karşı FourierDönüşümü’nü düşünün. Bir rock şarkısının bir pop şarkısından daha fazla bas (düşük frekans içeriği) içerdiği gösterilebilir (Şekil 9).

Rulman Hataları

Fourier Dönüşümü, bir rulmandaki potansiyel arızayı tanımlamak için kullanılabilir. Aşağıdaki rulmanı düşünün (Şekil 10). Her bileşen (innerrace, outerrace,rollingelements) şaftın dönüşü sırasında düzenli aralıklarla birbirleriyle temas eder.Rulmanın durumu, gövdesindeki bir titreşim sensörü ile izlenebilir.

Farklı parçalar arasındaki temas belirli frekanslar üretir. Şekil 11’deki örnekte, rulmanın dış yatağı üzerindeki bir kusur 119 Hertz frekansında bir tepe üretir. Bu kusur, temel frekansa göre ilişkili frekansın titreşim genliğinin artmasına neden olur.

Rulman üreticileri genellikle her bir bileşenle ilişkili bir “arıza frekansları” tablosu sağlar, böylece yataklar kullanımdayken seviyeleri izlenebilir.

Ses Filtreleme

Fourier Dönüşümü bir sesin tonal frekans bileşenlerini tanımlayabilir. Bu tonlar daha sonra dinleyicinin deneyimini geliştirmek için filtrelenebilir. Örneğin, 2010 Dünya Kupası’nda birçok taraftar vuvuzela adlı bir enstrümanı (Şekil 12) yanlarında stadyuma getirdi.

Vuvuzela çalındığında, birçok TV izleyicisinin sinir bozucu bulduğu 235 Hz’lik bir ses çıkarır. Vuvuzela’nın frekans içeriği Fourier Dönüşümü kullanılarak tanımlandı ve daha sonra izleme deneyimini geliştirmek için bazı yayıncılar tarafından filtrelendi.

Motor Gürültüsü ve Titreşimi

Gürültü ve titreşim sorun gidermede, Fourier Dönüşümü yararlıdır. Çünkü dönen makinelerdeki birçok bileşenin benzersiz bir harmonik imzası vardır. İçten yanmalı motorlar, krank mili dengesizliği, kayış tokası, dişli çıngırağı ve yanma olayları gibi istenmeyen titreşimlere neden olabilecek birçok farklı bileşene sahiptir (Şekil 13).

Motor bloğuna monte edilen bir ivmeölçerden alınan zaman verileri üzerinden yapılanFourier Dönüşümü, aşırı titreşime neden olan bileşenleri tanımlamak için kullanılabilir.Bir motorun hızı değiştiği için, Fourier Dönüşümleri genellikle farklı RPM’lerde yapılır ve bir renk haritasında gösterilir (Şekil 14).

Şekil 14’teki renk haritasındaki en yüksek ses seviyeleri, motor tarafından üretilen yanma olaylarından / frekanslarından kaynaklanmaktadır. Yanma ile ilişkili frekans rpm ile değişir. Dönen şaftın RPM’i ile ilgili frekansına ‘order’ denir.

İlgili Diğer Blog Yazılarımız;

– Spectrum ve Autopower Fonksiyonları

– Dijital Sinyal İşleme: Örnekleme Frekansı, Bant Genişliği, Spektral Çizgi

Uygulama hakkında sorularınız için DTA Mühendislik Test Bölümü mühendisleriyle iletişime geçebilirsiniz.

The post Fourier Dönüşümü Nedir? appeared first on .