Spectrum ve Autopower Fonksiyonları

Spectrum ve Autopower Fonksiyonları

Bir Fourier Dönüşümü gerçekleştirirken, hesaplanabilen birkaç tip spektral fonksiyon vardır. Bu fonksiyonlardan ikisi, Autopower ve Spectrum çok farklı sonuçlar verebilir. Şekil 1’de gösterildiği gibi, SIEMENS LMS Test.Lab’da iki fonksiyon arasında seçim yaparken, fonksiyonların nasıl hesaplandığını ve sonuçların nasıl değişebileceğini anlamak için çok dikkatli olunmalıdır.

Sonuçlar genlik, faz ve ortalamadan etkilenebilir. Bu makalede, iki fonksiyon arasındaki farklılıklar ve bunları ne zaman kullanacağınız açıklanmaktadır.

Arka Plan

Spectrum ve Autopower fonksiyonlarının ikisi de genliğe karşılık gelen frekansın sonuçlarını üretir. İki fonksiyon arasındaki başlıca fark, fazın işlenme şeklidir:
– Spectrum fonksiyonu faz bilgisi içerir.
– Autopower fonksiyonu faz bilgisi içermez.
Şekil 2, aynı sinyal için Spectrum ve Autopower göstermektedir:

Şekil 2’deki grafikler tek bir ortalama ile işlenmiştir ve her iki fonksiyonun genlik kısmı aynıdır. Tek fark, Spectrum faz bilgisi içerir fakat Autopower faz bilgisi içermemektedir. (Faz, tüm frekanslarda sıfırdır.)
Spektral verileri işlerken fazın ne kadar önemli olabileceğini anlamak için Fourier Dönüşümünü ve fazı nasıl işlediğini gözden geçirmek yararlı olacaktır.

Fourier Dönüşümü ve Faz

Herhangi bir zaman sinyalinin Fourier Dönüşümü gerçekleştirilirken, benzersiz bir tekil sinüs dalgası setine bölünür. Bu sinüs dalgaları, birlikte toplandığında, orijinal zaman sinyaline eşittir (Şekil 3).

Her bir sinüs dalgası sadece bir genliğe sahip değildir, aynı zamanda bir faz değerine de sahiptir. Hem faz hem de genlik değerleri, Fourier Dönüşümü ile her sinüs dalgası için ayrı ayrı belirlenir. Genlik ve faz değerleri, sinüs dalgalarının toplamının orijinal sinyale eşit olacağı şekilde belirlenir.

Fourier Dönüşümü herhangi bir zaman sinyalini benzersiz bir sinüs dalgası setine böler. Her sinüs dalgası benzersiz bir genlik ve frekansa sahiptir, böylece birlikte eklendiğinde, orijinal sinyal yeniden oluşturulur.

Her sinyal, tek sinüs dalgalarından oluşan bir koleksiyon olduğundan, bu makalenin çoğu, tek sinüs dalgalarını kullanan örnekleri gösterir.
Şekil 4’teki iki sinüs dalgasını inceleyelim. Bu sinüs dalgaları aynı genliğe sahipler, fakat faz açıları 45 derece farklıdır.

Faz açısı, zaman bloğunun başlangıcındaki değere bağlıdır. Şekil 4’te, kırmızı sinüs dalgasının sıfır derece faz açısına sahip olduğu ve mavi sinüs dalgasının 45 derece faz açısına sahip olduğu dikkate alınmıştır.
Zaman alanındaki bu değişim, Şekil 5’te gösterildiği gibi her iki sinyalin Fourier Dönüşümünde belirgindir.

Autopower’ın işlevi olmasa da Spectrum’un fazdaki farkları koruduğu gerçeği, hangisinin ne zaman kullanılacağını anlamak için anahtardır.
Bir sonraki bölüm, Fourier Dönüşümü’nün Spectrum veya Autopower ile nasıl ilişkili olduğunu kapsamaktadır.

Spectrum ve Autopower arasındaki Matematiksel Fark

Birçok dijital sinyal işleme algoritmasında, Fourier Dönüşümü 0 Hertz etrafında aynalanan çift taraflı bir Spectrum ile sonuçlanır. Sıfır Hertz etrafındaki bu aynalanma elimine edilirse Spectrum (S_x) sadece 0 Hertz ve üzerindeki frekansları içerir. Spectrum, genlik ve faz değerlerinden oluşan kompleks bir fonksiyondur. Reel ve imajiner (a+ib) şeklinde karmaşık sayılarla ifade edilebilir.

Autopower(G_xx) ise, Denklem 1’deki gibi Spectrum’un karmaşık sayı şeklinde eşleniği ile çarpımıdır. Bu eşlenik, Spectrum’un frekans çizgisindeki her değer için ayrı ayrı hesaplanır.

Karmaşık sayılarla bu işlem gerçekleştirilerek Spectrum, genlik içeren fakat faz içermeyen Autopower fonksiyonuna dönüşür.
Karmaşık sayıyı eşleniğiyle çarparak genliğin karesi alınmış olur. Lineer genliklere ulaşmak için bu değerlerin karekökünü almak yaygın bir uygulamadır. Bu durum için ‘Autopower Linear’ ifadesi kullanılır. Buradaki ‘Linear’ ifadesi Autopower fonksiyonunun sonucunda oluşan genliklerin karekökünün alındığını gösterir.

Bir sonraki bölümde birden fazla fonksiyon veya örneklemelerin ortalaması alınacaksa, Autopower veya Spectrum’dan hangisinin tercih edilmesi gerektiğinin öneminden bahsedilecektir.

Ortalamanın Önemi

Şekil 6’da, 180 derece faz farkına sahip iki farklı sinüs dalgasının zaman alanı ve frekans alanı grafiği gösterilmektedir.

İki sinüs dalgasının ortalaması alınırsa, sonuç sıfır olacaktır. Ortalama zaman alanında veya frekans alanında farketmeksizin sonuç sıfır olur. Ancak Autopower kullanılarak frekans alanında ortalama alınırsa sonuç sıfırdan farklı olur.

Şekil 7’de, her iki sinüs dalgasının Autopower’ı görünmektedir. Her iki sinüs dalgasının Autopower fazının sıfır olduğuna dikkat edin. İki sinüs dalgasının zaman alanındaki fazları farklı olsa bile frekans alanında Autopower’da aynıdır.

Bu durumda, zaman alanındaki ortalama sıfır olurken, frekans alanındaki Autopower fonksiyonunun ortalaması doğru olur. Autopower fonksiyonu sayesinde, frekans alanında ortalama sıfır olmaz.

Autopower, ortalamadaki doğru genliği korumak için fazı sıfıra ayarlar.

Fazı Ortadan Kaldırarak Doğru Genlik Seviyeleri Elde Etme

Autopower fonksiyonu ile ortalamanın doğru genliğini bulmak nasıl mümkün olur? Fazı elimine etme aşaması nasıl yapılıyor? Şekil 8’de açıklayıcı bir örnek görünmektedir. Örnek zaman verilerine dayanır, ancak frekans alanında doğrudur:
– Şekil 8’in sol tarafında fazları farklı olan iki sinüs dalgası görünmektedir. Bu iki sinüs dalgasının ortalamaları açıkça sıfırdır. Frekans alanında bile sıfır olacaktır, çünkü fazların arasında 180 derecelik ters ilişki vardır.
– Şekil 8’in sağ tarafında iki sinüs dalgasının ortalamasından önce kareleri alınmıştır. Bu durum frekans alanındaki karmaşık sayıların eşleniğiyle çarpımına eşdeğerdir. Sinüs dalgalarının kareleri alındığında, tüm değerler pozitif olur ve ortalamanın sonucu sıfırdan farklı bir değer çıkar.

Aslında, bu örnekte, kareleri alınmış sinüs fonksiyonları çok tutarlı bir ortalama sonucu çıkacak şekilde tamamen aynı verilmiştir.

Pratikte, iki sinyalin Spectrum’larının ortalaması her zaman sıfır olmaz. Örneğin, geniş bantta rastgele bir sinyalin ölçümünde sinyal genliği ortalama sayısına bağlı olarak kademeli şekilde azalır. Daha fazla ortalama Şekil 9’daki gibi daha düşük bir genliğe sebep olur.

Bazı gözlemler:
1) 10, 25 ve 100 ortalamaları ile Autopower genliklerindeki değişiklik azalmış ve genliklerin ortalaması aynı kalmıştır.
2) 10, 25 ve 100 ortalamaları ile Spectrum ise çok fazla değişken bir genlik içeriğine sahip olup, genlik değerleri giderek azalmıştır.
Spectrum fonksiyonu kullanıldığında, genlik ortalama sayısına bağlı olarak giderek düşer. Doğru genliğin elde edilmesi önemli olduğundan, fazın tutarlı olmasını sağlamak için özel önlemler alınmadıkça (tetikleyici gibi), ortalama alırken Spectrum tercih edilmez.

Faz Referanslı Spectrum (Phase Referenced Spectrum)

Doğru genlik, faz ve ortalama aynı anda istenir mi ? Örneğin yapının operasyonel şartlarda modal davranışının incelendiği Operational Deflection Shape (ODS) analizinde ortalamayla birlikte doğru genlik ve faz bilgisine ihtiyaç duyulur:
– Faz gerekiyorsa Autopower fonksiyonu kullanılmaz, Spectrum kullanılır.
– Ortalama gerekiyorsa, ortalamalar arasındaki faz değişimi kontrol edilemediği sürece Spectrum doğru genlik değerlerini sağlamayacaktır.

Bu durumda en iyi alternatif ise Faz Referanslı Spectrum yöntemidir.
Faz Referanslı Spectrum, veri toplamaya her başlandığında oluşan göreceli bir faz yapısının yerine, farklı tipte bir faz kullanılır. Burada ortalamanın yerine, titreşime maruz kalan yapı üzerinden toplanan farklı veri kanalları arasındaki faz farkını kullanır.

Şekil 10’daki titreşim halindeki yapının animasyonu üzerinden değerlendirelim:
– Ölçüm noktalarından; plate:1:Z ve plate:13:Z aynı fazdadır.
– Ölçüm noktalarından; plate:15:Z ve plate:13:Z ters fazdadır.

Titreşimli bir yapı üzerindeki farklı noktaların arasındaki sabit faz ilişkisinden yararlanılarak, Spectrum fonksiyonu kullanılarak bile ortalama almak mümkündür.

Faz Referanslı Spectrum ile çok kanallı ölçümlerde, bir konum her ölçümde faz referansı olarak belirlenir. Seçilen konum referans olarak belirlenir ve her ölçümde bu konumdan veri alınır. Bu sayede bütün noktaların arasındaki faz ilişkisi belirlenmiş olur. Bu faz ilişkisi ortalamanın doğru sonuç vermesi için kullanılır.

Titreşimli yapı üzerinden elde edilen veriler Şekil 11’de gösterilmiştir:
– Üç ölçümün de (A, B, C) başlangıç zamanları farklı olduğu için, farklı fazlara sahiptirler.
– Veri toplanan ölçüm konumları arasındaki faz farkları her zaman sabittir. Örneğin, Plate:15:Z ile Plate:13:Z arasında her ölçümde 180 derecelik bir faz farkı mevcuttur.

Bütün sinüs dalgaları aynı genlikte olmasına rağmen, ortalamaların hiçbirinden doğru genlik elde edilemeyecektir.

Faz Referanslı Spectrum’u faz durumlarını düzenli hale getirerek ortalamasının alınmasını sağlar. (Şekil 12)
– Faz, referans kanalındaki her frekans için sıfıra ayarlanır. Bu işlem her frekans çizgisi için ayrı ayrı yapılır.
– Referans kanalın fazını sıfırlamak için gereken fark, o ölçümdeki diğer kanallardan da çıkarılır. Bu işlem de her frekans çizgisi için ayrı ayrı yapılır.
– Ortalama alınırken kullanılacak bütün Spectrum’lar için bu durum geçerlidir. Bu işlemler yapılmadan ortalama almak söz konusu değildir.

Veri kanalları ve referans kanalı arasındaki fazda sabit bir ilişki olduğu için, ölçümlerdeki aynı noktalar arasında görünen tutarsız faz durumu Şekil 12’deki gibi tutarlı hale getirilir.

Verilerin tutarlı hale getirilmesi ortalamanın sorunsuz uygulanıp doğru sonuçlar vermesini sağlar. Kanallar arasında hiçbir ilişki olmadığı frekanslarda bu durum söz konusu değildir.

Örneğin, bir araç üzerinden veri toplanıyor ise ve referans kanalı aracın üzerinde durduğu zemindeki bir nokta olarak belirlenirse, faz referansı çalışmayacaktır. Bunun yerine, referans olarak belirlenen noktanın araç üzerindeki aktif davranış gösteren bir nokta olması gerekmektedir.

Faz Referanslı Spectrum ve Autopower her zaman aynı genlik değerini vermeyebilir. Random içerikli bir titreşime maruz kalan yapıda, diğer noktalarla sabit bir faz ilişkisi içerisinde olmayan bir noktanın ortalamaya bozucu yönde etki ettiği söylenebilir. Bu tip farklılıklar, ölçüm bölgelerindeki titreşimin içeriği ve noktalar arasındaki faz ilişkisinin durumuna bağlıdır.

Örnekte konunun anlaşılır olması için sinyal sabit frekanstadır. ‘Faz Referanslı Spectrum’ spektral içerikten bağımsız olarak her frekans için işlem yapar. Faz farkı her zaman 0, 90, 180 derece gibi tam değerlere sahip olmaz. Titreşimli yapıda bulunan farklı noktaların arasındaki faz farkı değerleri birbirinden çok farklı (32, 47, 72 gibi) olabilir.

SIEMENS LMS Tes.Lab ‘da Faz Referanslı Spectrum

SIEMENS LMS Test.Lab‘da faz referanslı Spectrum’u hesaplamak için, fonksiyon tipi ‘Spectrum’ olarak değiştirilir ve Şekil 13’de gösterildiği gibi ‘Phase Referenced Spectrum’ seçeneği aktif hale getirilir.

‘Phase Referenced Spectrum’ ayarları altındaki ‘References’ sekmesindeki ‘Define’ kısmından referans olarak kullanılacak kanal seçilir.

Sonuç:

Spectrum ve Autopower, frekans ve genlik belirten fonksiyonlardır. Spectrum’da faz korunurken, Autopower’da faz bilgisi yoktur.
1. Verilerin ortalaması alınırken Spectrum fonksiyonu kullanılacaksa dikkatli olun. Yanlış genlik değerleri elde edilebilir.
2. Sadece genlik gerekli ise Autopower kullanılmalıdır.
3. Hem faz hem de ortalama bilgisi gerektiği durumlarda ‘Phase Referenced Spectrum’ yöntemi kullanılmalıdır.